正定矩阵 |
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正定矩阵
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在线性代数中，实正定矩阵（positive defined matrix）是一类特殊的矩阵，关于复数域上的正定矩阵，参看复正定矩阵。 目录 1 定义 2 等价刻画 3 性质 4 极分解 5 广义正定矩阵 6 上下节 定义[]称 n {\displaystyle n} 阶方阵 A {\displaystyle A} 是实正定矩阵，如果存在可逆矩阵 Q {\displaystyle Q} ，使得 A = Q T Q {\displaystyle A=Q^{\text{T}}Q} （合同于单位阵）；同样，称 n {\displaystyle n} 阶方阵 A {\displaystyle A} 是实负定矩阵，如果存在可逆矩阵 Q {\displaystyle Q} ，使得 A = − Q T Q {\displaystyle A=-Q^{\text{T}}Q} 。 等价刻画[]n {\displaystyle n} 阶方阵 A {\displaystyle A} 是实正定矩阵，除了定义之外，这一命题还有以下等价表述 A {\displaystyle A} 的所有 n {\displaystyle n} 个特征根都是正的； A {\displaystyle A} 的所有顺序主子式都大于零； A {\displaystyle A} 的所有主子式都大于零； 实二次型 f = X T A X {\displaystyle f=X^{\text{T}}AX} 是正定的； 存在主对角线元素全为正数的三角阵 U {\displaystyle U} ，使 A = U T U {\displaystyle A=U^{\text{T}}U} ； 存在实矩阵 B {\displaystyle B} ， rank B = n {\displaystyle \operatorname {rank} B=n} ，使 A = B T B {\displaystyle A=B^{\text{T}}B} 。 性质[]以下设 A = ( a i j ) , B = ( b i j ) {\displaystyle A=(a_{ij}),B=(b_{ij})} 是 n {\displaystyle n} 阶实正定矩阵： 实正定矩阵一定是对称矩阵； | A | > 0 {\displaystyle |A|>0} ，且 A − 1 , A ∗ {\displaystyle A^{-1},A^{*}} 是正定的； 若 s , t > 0 {\displaystyle s,t>0} ，那么 s A + t B {\displaystyle sA+tB} 是正定的； n {\displaystyle n} 阶方阵 C {\displaystyle C} 正定当且仅当 A C {\displaystyle AC} 的 n {\displaystyle n} 个特征根都是正的； A B {\displaystyle AB} 正定当且仅当 A B = B A {\displaystyle AB=BA} ； | A | ⩽ a 11 a 22 ⋯ a n n {\displaystyle |A|\leqslant a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}} ，等号取到当且仅当 A {\displaystyle A} 为对角阵； ( a i j b i j ) {\displaystyle (a_{ij}b_{ij})} 正定。此外还有如下性质 准对角矩阵 C = ( A O O B ) {\displaystyle C={\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}}} 正定当且仅当 A , B {\displaystyle A,B} 均正定； 如果 A {\displaystyle A} 正定，那么存在正定矩阵 B {\displaystyle B} 以及正整数 k {\displaystyle k} ，使得 A = B k {\displaystyle A=B^{k}} ； 设 A {\displaystyle A} 是实对称矩阵，当实数 t {\displaystyle t} 充分大时， t E + A {\displaystyle tE+A} 正定。 极分解[]任何一个可逆实矩阵都可以分解为一个正定矩阵与正交矩阵的乘积，这就是矩阵的极分解。 广义正定矩阵[]也叫 Hermite 正定矩阵，参见复正定矩阵，设 A ∈ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} ，若 A H = A {\displaystyle A^{\text{H}}=A} （ A {\displaystyle A} 是一个 Hermite 矩阵）， ∀ θ ≠ X ∈ C n {\displaystyle \forall \theta \neq X\in \mathbb {C} ^{n}} ， X H A X > 0 {\displaystyle X^{\text{H}}AX>0} ，那么称 A {\displaystyle A} 是广义正定矩阵，我们可以像正定矩阵那样建立上述等价刻画以及相应的性质。 上下节[] 上一节：正交相似化简 下一节：半正定矩阵 线性代数（学科代码：1102110，GB/T 13745—2009） 矩阵代数 矩阵的转置 ▪ 矩阵的逆 ▪ 对角矩阵 ▪ 初等矩阵 ▪ 等价标准型 ▪ 分块矩阵 ▪ 伴随矩阵 ▪ 酉矩阵（正交矩阵） ▪ Hermite 矩阵（实对称矩阵） ▪ 正规矩阵（实正规矩阵） ▪ 幂等矩阵 ▪ 幂零矩阵 >>另参见数值分析另参见数值分析 |
阶方阵
A
{\displaystyle A}
是实正定矩阵，如果存在可逆矩阵
Q
{\displaystyle Q}
，使得
A
=
Q
T
Q
{\displaystyle A=Q^{\text{T}}Q}
（合同于单位阵）；同样，称
n
{\displaystyle n}
。
是正定的；
存在主对角线元素全为正数的三角阵
U
{\displaystyle U}
，使
A
=
U
T
U
{\displaystyle A=U^{\text{T}}U}
；
存在实矩阵
B
{\displaystyle B}
，
rank
B
=
n
{\displaystyle \operatorname {rank} B=n}
，使
A
=
B
T
B
{\displaystyle A=B^{\text{T}}B}
。
性质[]
是
n
{\displaystyle n}
，且
A
−
1
,
A
∗
{\displaystyle A^{-1},A^{*}}
是正定的；
若
s
,
t
>
0
{\displaystyle s,t>0}
，那么
s
A
+
t
B
{\displaystyle sA+tB}
是正定的；
n
{\displaystyle n}
正定当且仅当
A
C
{\displaystyle AC}
的
n
{\displaystyle n}
正定当且仅当
A
B
=
B
A
{\displaystyle AB=BA}
；
|
A
|
⩽
a
11
a
22
⋯
a
n
n
{\displaystyle |A|\leqslant a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}}
，等号取到当且仅当
A
{\displaystyle A}
正定。
正定当且仅当
A
,
B
{\displaystyle A,B}
均正定；
如果
A
{\displaystyle A}
，使得
A
=
B
k
{\displaystyle A=B^{k}}
；
设
A
{\displaystyle A}
充分大时，
t
E
+
A
{\displaystyle tE+A}
正定。
极分解[]
，若
A
H
=
A
{\displaystyle A^{\text{H}}=A}
（
A
{\displaystyle A}
，
X
H
A
X
>
0
{\displaystyle X^{\text{H}}AX>0}
，那么称
A
{\displaystyle A}
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